Положительная и Отрицательная Площадь

Вначале мы рассмотрим саму концепцию площади фигуры, ограниченной линией, и увидим, что есть смысл как в положительной площади, так и в отрицательной. Для исследования этой идеи воспользуемся специальной графической процедурой.

> area_plot := proc(f1,a,b)
local box,i,n,x1,x2,y1,y2,A,delta:
n:= 2; delta := (b-a)/n; x2 := a;
for i from 1 to n do
x1 := evalf(x2); y1 := evalf(f1(x1));
x2 := evalf(a + i*delta); y2 := evalf(f1(x2));
if( y1 > 0 )
then A||i :=polygonplot( [[x1,0],[x1,y1],[x2,y2],[x2,0]],color=coral,style=patchnogrid);
else A||i:=polygonplot( [[x1,0],[x1,y1],[x2,y2],[x2,0]],color=red, style=patchnogrid);
fi; od;
display([plot(f1(x), x = a..b, color=blue,thickness=2,discont=true), seq(A||i,i=1..n)]);
end:

Для использования каждой новой функции, следует разобраться с её областью определения и задать левый и правый концы интервала. В данном случае, мы рассмотрим фигуру, ограниченную вертикалями x = 1 и x = 3. Итак, интересуемся площадью фигуры, ограниченной графиком функции, осью x и двумя вертикалями.

> with(plots):

> f := x -> 1 + x/2 + (x/3)*sin(x^2); a := 1; b := 3;

> area_plot( f, a, b );

Площадь может быть как положительной, так и отрицательной. Положительна она тогда, когда график функции располагается в верхней полуплоскости, а отрицательна - когда график находится под осью x.

> f := x->x^2 + 3;

> area_plot( f, -2, 2);
area_plot( -f, -2, 2);

Часто график функции располагается как над осью x , так и под ней. В первом случае площадь фигуры, ограниченная графиком, будет положительна, а во втором - отрицательна.

> f := x-> 10 + 6*x - x^2; a := -3; b := 9; area_plot( f, a,b );