Напомним Вам теорему Ролля:

Пусть дана функция f такая, что

1) f непрерывна на [a,b]

2) f дифференцируема (a,b)

3) f(a) = f(b).

> f1:= x -> 3*x - 2 + cos( Pi * x / 2);

Построим график функции f1, чтобы локализовать область поисков возможных корней.

> plot(f1(x), x = -4 * Pi.. 4 * Pi, color = red);

Теперь очевидно, что должен быть точно один действительный корень.

Пусть Maple найдёт нам его численно:

> fsolve(f1(x) = 0, x = 0..5);

Итак, похоже, что действительный корень функции f1 приблизительно равен .

Как можно проверить наше численное решение при помощи теоремы Ролля?

Используем метод "от противного".

Предположим, что функция f1 имеет хотя бы 2 действительных корня. Скажем, a и b. Это означает, что f1(a) = f1(b) = 0.

Тогда из теоремы Ролля следует,что между этими точками непременно найдётся такая точка c , в которой

f1 '(c) = 0. Но f1 '(x) = 3 - /2 sin( x/2 ) . И т.к. |sin( )| < = 1

для всех , мы имеем, что | /2 sin( x/2 )| < = /2 < 3.

Следовательно, f1 '(x) > 0 для всех x и мы пришли к противоречию.

Итак, f1 обладает всего одним действительным корнем.

Построим график f1 '(x), чтобы убедиться в положительности производной.

> plot(D(f1)(x), x = -4*Pi..4*Pi, color = red);