Для каждой функции мы получим:

- интервалы возрастания и убывания

- экстремумы

- интервалы направления выпуклости

- точки перегиба

> restart: with(plots):

> f1:= x -> sin(2 * x) - 2 * sin(x);

> plot(f1(x), x=-Pi- .5..Pi + .5, color = red);

> D(f1);

Имеем: f1' (x) =

=

=

Производная обращается в 0, когда cos (x) = или cos (x) = 1.

Построим график cos (x).

> plot(cos(x), x= -Pi..Pi, color = red);

> solve(cos(x) = -1/2, x);

Теперь понятно, что критическими точками будут: x = 0, х = , и х = . Посмотрим на поведение производной f1' (x).

Можно заключить, что f1 возрастает на ( - , ) и на ( , ).

Следовательно, f1 имеет локальный максимум в точке x = и локальный минимум в точке x =

Теперь разберёмся с выпуклостью.

> D(D(f1));

Откуда, f1'' (x) = -4 sin(2x) + 2sin(x)

= -4(2sin(x) cos(x))+ 2sin(x)

= 2sin(x) (-4cos(x) + 1)

Значит, f1'' (x) = 0 когда sin(x) = 0 или cos(x) = .

Т.к. не относится к известным значениям косинуса, решение последнего уравнения придётся давать численно.

> fsolve(cos(x) = 1/4, x = -Pi..Pi);

ВЫВОДЫ: график функции f1 направлен выпуклостью вниз на промежутках ( ,0) и ( , ),

и выпуклостью вверх - на промежутках ( - , ) и (0, ).

Точки перегиба: x = - , - , 0, , .