>
f:= x -> sqrt(x + 3);
>
D(f);
>
df:= x -> (0.5) * ( 1 / (sqrt(x + 3)));
>
f(1);
>
df(1);
Таким образом, линейная аппроксимация (т.е. касательная), проходит через точку (1,2)
и имеет угловой коэффициент .25 .
>
L:= x -> 2 + 0.25 * ( x - 1);
a) Следовательно, линейная аппроксимация есть: L(x) = 1.75 + 0.25 x .
>
plot({f(x),L(x)}, x = -5..5, color=[brown,blue]);
Из графика достаточно очевидно: линейная аппроксимация f (x) НЕ хороша всюду, за исключением окрестности точки 1.
>
plot({f(x),L(x)}, x = 0.5..1.5, color=[brown,blue]);
Для значений x , близких к 1, линейную аппроксимацию можно считать удовлетворительной.
>
L(3.98);
>
f(3.98);
c) Линейное приближение функции даёт значение 2.7450 для корня квадратного
,
в то время как вычисления с точностью до десятого знака дают
d) Обратимся к части (d) задачи.
>
f(3.98) - f(1);
Следовательно,
y =
(для x = 1 и
x = 2.98).
>
df(1) * 2.98;
Значит, dy =
(для x = 1 и
x= 2.98).
>
L(3.98);
>
f(1);
>
L(1);
>
f(3.98);
>
with(plots):
>
A:= plot({f(x),L(x)}, x = 0..6, color=[blue,brown]):
>
B:= plot([t,2, t = 1..3.98], color = magenta):
>
C:= plot([3.98,t,t = 2..2.7450], color = magenta):
>
F:= plot([t,2.641968963, t = 3.98..4.2],color = black):
>
G:= plot([4.2,t,t = 2.641968963..2.7450], color = black):
>
H:= plot([t,2.7450, t = 3.98..4.2],color = black):
>
K:= textplot([4.5,2.7,'dy'], align=RIGHT, color = red):
>
L:= textplot([4.2,2.3,'deltay'], align=RIGHT, color = red):
>
M:= textplot([2.3,1.9,'deltax'], color = red):
>
display( {A,B,C,F,G,H,K,L,M}, axes = boxed);