> f := x -> 3 + (x-2)*cos((x-2)); a := 2: left := -1: right :=5:

> display( plot( f(x), x = left..right, color = green),
plot( {[[a,0],[a,f(a)]],[[0,f(a)],[a,f(a)]] }, x = left..right,
linestyle=3,color = gold, thickness = 2),
plot([[ a - 1/n, f(a - 1/n)] $n=1..20], x = left..right,
style=point, symbol=circle, color = red),
plot( [[ a+1/n, f(a + 1/n)] $n=1..20], x = left..right,
style=point, symbol=circle, color = blue));

Зелёная линия - график функции. Коричневые линии отмечают координаты точки ( a , f ( a )) . Синие кружочки показывают точки графика функции f(x) при стремлении x к a справа, а красные кружочки иллюстрируют поведение точек графика функции f ( x ) при стремлении x к точке a с левой стороны. Глядя на эту диаграмму, Вы можете "прикинуть", к какому значению стремится функция при стремлении х к а справа, а к какому - слева. Если синие и красные кружочки стремятся к одной и той же точке на плоскости, то предел функции в точке а существует и равен тому числу, к которому стремятся ординаты синих и красных точек.

Приведём пример, когда левосторонний и правосторонний пределы существуют, но не совпадают.

f := x -> Heaviside(x-1) - Heaviside(1-x); a := 1: left := -2: right :=4:

> display( plot( f(x), x = left..right, color = green),
plot( {[[a,0],[a,f(a)]],[[0,f(a)],[a,f(a)]] }, x = left..right,
linestyle=3,color = gold, thickness = 2),
plot([[ a - 1/n, f(a - 1/n)] $n=1..20], x = left..right,
style=point, symbol=circle, color = red),
plot( [[ a+1/n, f(a + 1/n)] $n=1..20], x = left..right,
style=point, symbol=circle, color = blue));

В этом случае функция не является непрерывной. Она претерпевает скачок в точке x = 1. Красные кружочки слева стремятся к точке с координатами (1:-1), в то время как синие кружочки справа пытаются слиться с точкой (1;1). Мы можем утверждать, что предел функции в точке х = 1не существует, так как односторонние пределы разнятся по значению.