- все критические точки

- промежутки, на которых функция возрастает и убывает

- промежутки, на которых график функции направлен выпуклостью только вверх или только вниз

> restart: with(plots):

> g1:= x -> x^3 - 2*x^2 + x + 3;

> D(g1);

> factor(3*x^2 - 4*x + 1);

Следовательно, критические точки - корни уравнений: или x -1 = 0, т.е.,

критическими являются точки: and x = 1.

> a1:= plot(D(g1)(x), x = -1..2, color= black):

> b1:= plot([1/3,t,t = -1..2], color = red):

> c1:= plot([1,t,t = -1..2], color = red):

> d1:= textplot([.5,7,`g1'(x)`], color = blue):

> e1:= textplot([.27,4,`x = 1/3`], color = magenta, align = RIGHT):

> f1:= textplot([1.2,3,`x = 1`], color = magenta):

> display({a1,b1,c1,d1,e1,f1});

Из графика следует :

g1' (x) > 0 for or

g1' (x) < 0 for < 1.

Значит, g1 возрастает, если или x > 1; g1 убывает, если < 1.

Заключаем (из теста для знака первой производной) , что g1 имеет локальный max, когда и локальный min , когда x = 1.

> D(D(g1));

Далее, g1'' (x) = , откуда

g1'' (x) > 0 для x > 2/3

g1'' (x) < 0 для x < 2/3.

Следовательно, график функции g1 направлен выпуклостью вниз при x > , а выпуклость вверх - при . Имеется единственная точка перегиба .

> plot(g1(x), x = -5..5, color = blue);

Предлагаем Вам Maple-программу, называющуюся shape_plot ("нанесение штриховки") , которая поможет нам суммировать все найденные свойства функции графически. Цвет и толщина графика здесь будут играть определённую роль: указывать, какими свойствами обладает та или иная часть графика.

Возрастание - Толстая синяя линия

Убывание  -  Тонкая красная линия

Направление выпуклости вниз - Зелёная штриховка

Направление выпуклости вверх - Коричневая штриховка

> shape_plot := proc(f,a,b)
local box,i,n,x1,x2,xmid,delta,y1,y2,A,B, m,M,slope, concav:
n:= 100; delta := (b-a)/n; x2 := a;
M := maximize( f(x), x = a..b); m := minimize(f(x), x = a..b);
for i from 1 to n do
x1 := evalf(x2); y1 := evalf( f(x1));
x2 := evalf(a + i*delta); y2 := evalf( f(x2)); xmid := x1 + delta/2;
slope := evalf( subs( x = xmid, diff( f(x), x )));
concav := evalf( subs( x = xmid, diff( f(x),x $ 2)));
if( slope > 0 )
then A[i]:=plot( f(x), x = x1..x2, color = blue, thickness = 4 );
else A[i]:=plot( f(x), x = x1..x2, color = red, thickness = 2 );
fi;
if( concav > 0 ) then
B[i]:=polygonplot([[x1,M],[x1,y1],[x2,y2],[x2,M]],
color=green,style=patchnogrid);
else
B[i]:=polygonplot( [[x1,m],[x1,y1],[x2,y2],[x2,m]],
color=sienna,style=patchnogrid);
fi;
od;
display({ seq( A[i],i=1..n ),seq( B[i],i=1..n ) } );
end:

> shape_plot(g1,-5,5);

Заметьте, что локальны максимум находится в той точке линии, где она меняет свой синий цвет на красный, а локальный минимум - в точке изменения цвета кривой с красного на синий. Точка перегиба расположена в том месте, где соприкасаются зелёная и коричневая области рисунка.