Треугольник образован в первом квадранте касательной к графику функции

и осями координат. Какова наибольшая площадь этого треугольника?

Посмотрим вначале на графическое толкование ситуации.

> f := x->exp(-x);
a1 := 1.5: a2 := 2.5:
eqTanLine := (x,a) -> f(a) + (x-a) * D(f)(a):
b1 := solve( eqTanLine(x,a1)=0, x):
b2 := solve( eqTanLine(x,a2)=0, x):
graph := plot( f(x), x = 0..5, thickness=2):
tanLine1 := plot( eqTanLine(x,a1), x = 0..b1, color=blue, thickness=2):
tanLine2 := plot( eqTanLine(x,a2), x = 0..b2, color=green, thickness=2):
line1 := line( [0, 0],[b1, 0], color=blue, thickness=2):
line2 := line( [0, 0],[0, eqTanLine(0,a1)], color=blue, thickness=2):
line3 := line( [0, 0],[b2,0], color=green, thickness=2):
line4 := line( [0, 0],[0, eqTanLine(0,a2)], color=green, thickness=2):
display( graph, tanLine1, tanLine2, line1, line2,line3, line4);

Из приведенного графика следует, что вид треугольника существенно зависит от того, как проведена касательная.

Мы должны найти такое положение касательной, при котором площадь образовавшегося треугольника будет наибольшей.

Найдём абсциссу точки пересечения касательной и оси х.

> solve( exp(-a)-exp(-a)*(x-a)=0,x);

Таким образом, если x = a , то абсцисса точки пересечения касательной и оси х есть 1 + a.

Найдём ординату точки пересечения касательной с осью у .

> tl(0,a);