В этом worksheet Вы узнаете, как решить две проблемы: математическую задачу о нахождении касательной к графику функции, и физическую задачу об определении скорости движущегося объекта. Эти задачи лишь на первый взгляд между собой не связаны. Как окажется, они обе приводят к математической концепции производной функции.

 f := x-> x^2:
f1 := D(f):
t := x-> f(1) + f1(1)*(x - 1):

> plot([f(x),t(x)], x=-1..3, colour=[black,red]);

Чёрная кривая - график функции , а красная прямая - касательная, проведенная к графику в точке с абсциссой . Из рисунка Вы можете сделать определённые выводы по поводу касательной: это прямая линия, имеющая с графиком функции единственную общую точку - данную; создаётся даже впечатление, что в этой точке касательная и график функции "параллельны". Важно понять, что это - пока единственная информация, которой мы владеем в отношении касательной. В частности, у нас нет никакой уверенности в том, что касательная не пересечётся с графиком функции в какой-то иной точке.

Задача о касательной состоит в том, чтобы вывести уравнение прямой, одна из точек которой нам известна. Конечно, если бы мы знали и угловой коэффициент этой прямой, то записать уравнение искомой линии не составило бы труда. Тем самым мы определились с тем, что следует искать: как найти угловой коэффициент касательной?

> m := (f(3) - f(1))/(3 - 1);

> s := x-> f(1) + m*(x - 1) ;

> plot([f(x),s(x)], x=-1..4, colour=[black,red]);

c := 1; left := c-1; right := c+1;

> SecantLine := (a,b) -> f(a) + ( (f(b)-f(a)) / (b-a) ) * (x-a);

> plots[display](plot(f(x), x= -1..4, color = black, thickness=2),
plot({SecantLine(c, c + 2/k) $ k =1..6 }, x= -1..4, color = red));